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素数の一覧（1〜1000の168個）と見つけ方｜エラトステネスのふるい・判定法・素因数分解
1から1000までの素数168個を100ごとの個数つきで一覧にしました。エラトステネスのふるいの手順、√nまでの素数で割る判定法の計算例、間違えやすい数、素因数分解と約数・最大公約数への使い方も確かめられます。
結論：1から1000までの素数は168個
1から1000までの素数は168個で、小さい順に2、3、5、7、11、13、…、983、991、997です。100ごとに数えると、1〜100が25個、101〜200が21個、201〜300が16個、301〜400が16個、401〜500が17個、501〜600が14個、601〜700が16個、701〜800が14個、801〜900が15個、901〜1000が14個です。下の一覧は、エラトステネスのふるいと、1つずつ割り算で調べる方法の2通りで計算し、結果が一致することを確かめたものです。
素数とは、1より大きい整数のうち、1とその数自身のほかに約数をもたない数です。1は素数ではありません。偶数の素数は2だけで、3以上の素数はすべて奇数です。
素数は中学校1年で習います。文部科学省の中学校学習指導要領（平成29年告示）は、第1学年で扱う用語に「素数」を挙げ、内容の取扱いで「自然数を素数の積として表すこと」（素因数分解）を扱うとしています。学習指導要領解説（数学編）によると、前の学習指導要領では「素数」という用語は小学校5年、素因数分解は中学校3年で扱っていて、今回の改訂でどちらも中学校1年に移りました。中学校の新しい学習指導要領は2021年度から全面実施されています。
| 範囲 | 個数 | 累計 | 素数 |
|---|---|---|---|
| 1〜100 | 25個 | 25個 | 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 |
| 101〜200 | 21個 | 46個 | 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 |
| 201〜300 | 16個 | 62個 | 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 |
| 301〜400 | 16個 | 78個 | 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 |
| 401〜500 | 17個 | 95個 | 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 |
| 501〜600 | 14個 | 109個 | 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 |
| 601〜700 | 16個 | 125個 | 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 |
| 701〜800 | 14個 | 139個 | 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 |
| 801〜900 | 15個 | 154個 | 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 |
| 901〜1000 | 14個 | 168個 | 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 |
エラトステネスのふるいで素数を見つける手順
エラトステネスのふるいは、整数を書き並べ、小さい素数から順にその倍数を消していき、最後に残った数を素数とする方法です。1から100までなら、次の手順で25個の素数が残ります。
- 2から100までの整数を書き出す（1は素数ではないので最初から入れない）。
- 残っている中でいちばん小さい2を素数として残し、2より大きい2の倍数（4、6、8、…、100）をすべて消す。
- 残っている中で次に小さい3を素数として残し、3より大きい3の倍数を消す。すでに消えている数（6、12など）はそのままでよい。
- 同じように、5の倍数、7の倍数を消す。
- 次に残っている11は、11×11＝121が100を超えるので、ここで作業を終える。残っている数がすべて素数になる。
| 消す倍数 | 新たに消える数 | 残る数 |
|---|---|---|
| （はじめ） | ― | 99個（2〜100） |
| 2の倍数 | 49個 | 50個 |
| 3の倍数 | 16個 | 34個 |
| 5の倍数 | 6個 | 28個 |
| 7の倍数 | 3個（49、77、91） | 25個 |
11で作業を止めてよいのは、100以下の素数でない数（合成数）は、必ず10以下の約数をもつからです。もし2つの数の積で表したとき、どちらも11以上なら、積は11×11＝121以上になり、100を超えてしまいます。だから2、3、5、7の倍数を消せば、素数でない数はすべて消えています。同じ理由で、7の倍数を消すときは7×7＝49から始めれば十分です。14、21、28、35、42は、2、3、5の倍数としてすでに消えています。
1000までふるうときは、31×31＝961が1000以下で、次の素数37では37×37＝1369が1000を超えるので、2から31までの11個の素数の倍数を消せば終わります。下の表のとおり、最初の数回で大部分の数が消え、最後の31の倍数で消えるのは961の1個だけです。
| 消す倍数 | 新たに消える数 | 残る数 |
|---|---|---|
| （はじめ） | ― | 999個（2〜1000） |
| 2の倍数 | 499個 | 500個 |
| 3の倍数 | 166個 | 334個 |
| 5の倍数 | 66個 | 268個 |
| 7の倍数 | 37個 | 231個 |
| 11の倍数 | 20個 | 211個 |
| 13の倍数 | 16個 | 195個 |
| 17の倍数 | 10個 | 185個 |
| 19の倍数 | 8個 | 177個 |
| 23の倍数 | 6個 | 171個 |
| 29の倍数 | 2個 | 169個 |
| 31の倍数 | 1個 | 168個 |
素数かどうかの判定は、√nまでの素数で割ればよい
ある数nが素数かどうかを調べるには、2から順に割ってみて、√n（2回かけるとnになる数）以下の素数のどれでも割り切れなければ素数です。理由はふるいと同じで、nが2つの数の積に分けられるなら、そのうち小さいほうは必ず√n以下になるからです。√nの値は、「2回かけてnを超えない最大の整数」を見つければ十分です。たとえば97なら、9×9＝81、10×10＝100なので、9以下の素数2、3、5、7で割ってみればよいことがわかります。
| 数n | √n | 割ってみる素数 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 91 | 約9.5 | 2〜7（4個） | 7で割り切れる（91＝7×13）→素数ではない |
| 97 | 約9.8 | 2〜7（4個） | どれでも割り切れない→素数 |
| 221 | 約14.9 | 2〜13（6個） | 13で割り切れる（221＝13×17）→素数ではない |
| 437 | 約20.9 | 2〜19（8個） | 19で割り切れる（437＝19×23）→素数ではない |
| 667 | 約25.8 | 2〜23（9個） | 23で割り切れる（667＝23×29）→素数ではない |
| 997 | 約31.6 | 2〜31（11個） | どれでも割り切れない→素数 |
| 1001 | 約31.6 | 2〜31（11個） | 7で割り切れる（1001＝7×11×13）→素数ではない |
割る前に、倍数の見分け方を使うと手早く進みます。一の位が偶数なら2の倍数、各位の数の和が3の倍数なら3の倍数、一の位が0か5なら5の倍数です。たとえば561は5＋6＋1＝12が3の倍数なので、3で割り切れます（561＝3×11×17）。7、11、13以上の素数は、実際に割って確かめます。
素数のように見えて素数でない数は、計算問題でよく間違えます。3の倍数でも見落としやすいもの（51、57、87など）や、7以上の素数どうしの積になっている数が特に要注意です。400までの代表的なものを表にしました。
| 数 | 素因数分解 |
|---|---|
| 51 | 3×17 |
| 57 | 3×19 |
| 87 | 3×29 |
| 91 | 7×13 |
| 119 | 7×17 |
| 133 | 7×19 |
| 143 | 11×13 |
| 161 | 7×23 |
| 169 | 13² |
| 187 | 11×17 |
| 209 | 11×19 |
| 221 | 13×17 |
| 247 | 13×19 |
| 253 | 11×23 |
| 289 | 17² |
| 299 | 13×23 |
| 323 | 17×19 |
| 341 | 11×31 |
| 361 | 19² |
| 391 | 17×23 |
素因数分解のしかたと使いみち
素因数分解は、整数を素数だけのかけ算で表すことです。小さい素数から順に割れるだけ割っていきます。360なら、2で割って180、もう一度2で割って90、さらに2で割って45、3で割って15、3で割って5となり、5は素数なのでここで終わります。使った素数をまとめると、360＝2×2×2×3×3×5＝2³×3²×5です。2026は2で割ると1013で、1013は√1013が約31.8なので31までの素数で割ってみると、どれでも割り切れず素数だとわかります。したがって2026＝2×1013です。
学習指導要領解説（数学編）は、素数でない数をその約数を使って積に表し、さらに分けられるものを分けていくと最終的に素数だけの積になり、その表し方はただ一通りに決まると説明しています。割る順番を変えても、最後に並ぶ素数の組は同じです。解説は、素因数分解によって、算数で学んだ約数や倍数などの整数の性質をとらえ直せるようにするとしています。
使いみちの1つ目は、約数の個数です。360＝2³×3²×5の約数は、2を0〜3個、3を0〜2個、5を0〜1個選んでかけ合わせたものなので、（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24個あります。2つ目は、最大公約数と最小公倍数です。84＝2²×3×7、126＝2×3²×7なので、共通する部分2×3×7＝42が最大公約数、それぞれの素数を多いほうの個数だけかけた2²×3²×7＝252が最小公倍数です。検算として、42×252＝10584は84×126＝10584と一致します（2つの数の積は、最大公約数と最小公倍数の積に等しい）。
| 数 | 素因数分解 | 約数の個数 |
|---|---|---|
| 12 | 2²×3 | （2＋1）×（1＋1）＝6個 |
| 60 | 2²×3×5 | （2＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝12個 |
| 84 | 2²×3×7 | （2＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝12個 |
| 126 | 2×3²×7 | （1＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝12個 |
| 360 | 2³×3²×5 | （3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24個 |
| 1000 | 2³×5³ | （3＋1）×（3＋1）＝16個 |
| 1001 | 7×11×13 | （1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝8個 |
| 2026 | 2×1013 | （1＋1）×（1＋1）＝4個 |
よくある疑問
1が素数に入らないのは、素数の定義で「1より大きい」と決めているからです。もし1を素数に含めると、6＝2×3＝1×2×3＝1×1×2×3のように、素数の積で表す方法がいくらでも作れてしまい、素因数分解がただ一通りに決まるという性質が成り立たなくなります。
素数は限りなくあります。仮に素数が有限個しかないとして、それらを全部かけて1を足した数を作ると、その数はリストのどの素数で割っても1余ります。ところが、1より大きい整数は必ずどれかの素数で割り切れるので、リストにない素数があることになり、はじめの仮定と矛盾します。ただし、こうして作った数がいつも素数になるわけではありません。2×3×5×7＋1＝211は素数ですが、2×3×5×7×11×13＋1＝30031は59×509で、素数ではありません。
一覧からは、ほかにも次のことが読み取れます。差が2の素数の組（3と5、11と13、…、881と883など、双子素数と呼ばれる）は1000までに35組あります。隣り合う素数の間がいちばん広いのは887と907の間で、差は20です。1000にいちばん近い素数は、下が997、上が1009です。また、文部科学省の中学校学習指導要領解説（数学編）は、素数を活用した暗号化技術が、クレジットカードやインターネット通販などの情報セキュリティの基盤になっていることに触れています。